Problemas de Olimpíada
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Alguém sabe como fazer?
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Alguém sabe como fazer?
(Jacob Palis 2024) Um número a ganha de outro \(b\) se \(a>b\) e o número obtido invertendo os dígitos de \(a\) na base decimal é maior do que o número obtido invertendo os dígitos de \(b\) na base decimal. Por exemplo, 314 ganha de 291 pois \(314>291\) e \(413>192\). Por outro lado, 314 não ganha de 309 pois \(413<903\).
Quantos números de quatro algarismos ganham de 2024 ?
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19. Resposta: 4629
Seja N um número que ganha de 2024, ou seja, tal que N > 2024 e o número invertendo os algarismos de N
é maior do que 4202. Se o algarismo U das unidades de N é 5, 6, 7, 8 ou 9, então os outros três algarismos
MCD de N = MCDU variam entre 202 e 999. Temos que N ganha de 2024, pois ao inverter os algarismos
obtemos UDCM, com um milhar U maior do que 4, e portanto um número maior do que 4202. Há, nesse caso,
5 · (999 − 202 + 1) = 3990 possibilidades.
Se o algarismo das unidades de N é 4, dividimos em dois casos: se o algarismo das dezenas é 3 ou mais (7
possibilidades), ao inverter obtemos 4DCM > 4300 > 4202. O das centenas pode ser qualquer um e o dos
milhares pode ser qualquer um maior ou igual a 2. Há 7 · 10 · 8 = 560 possibilidades. Se o algarismo das
dezenas é 2, a inversão de N é 42CM e basta que CM > 02, ou seja, os outros dois algarismos MC variem entre
21 e 99, dando 99 − 21 + 1 = 79 possibilidades.
Se o algarismo das unidades é menor do que 4, obtemos ao inverter o número um número menor do que
4000 < 4204.
O total é 3990 + 560 + 79 = 4629.
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