Jogo em um tabuleiro
Jogo em um tabuleiro
Problemas sobre jogos estão entre os mais atrativos para a maioria dos alunos que estão iniciando o seu gosto pela matemática e, por isso, sempre tiveram grande importância nas provas de olimpíadas. Este breve artigo tem como objetivo o de encontrar uma estratégia vencedora para um jogo que deve ser jogado em um tabuleiro \( 10 \times 10 \) utilizando um cavalo do xadrez.
O cavalo do xadrez é uma peça que tem um movimento assemelhado a um “L” e, diferente das outras peças, pode pular as peças intervenientes. Mais especificamente, o cavalo movimenta-se duas casas em um eixo (horizontal ou vertical) e uma casa no outro eixo. A figura a seguir mostra todos os movimentos do cavalo em um tabuleiro de xadrez.
Na figura, os pontos pretos representam todos as oito possíveis posições finais do cavalo branco que está ao centro. Porém, no jogo que apresentaremos a seguir, nem todos os possíveis movimentos do cavalo serão permitodos.
Problema 1. Ana e Bob jogam um jogo em um tabuleiro \( 10 \times 10 \) movimentando um cavalo que está inicialmente no canto inferior esquerdo do tabuleiro. Cada um, em seu turno, pode mover a peça de duas formas:
- Andar duas casas para a direita e, em sequência, uma casa para cima;
- Andar duas casas para cima e, em sequência, uma cada para a direita.
A peça não pode mover-se para fora do tabuleiro e o jogador que não puder mais mover a peça perde. Se Ana começa a jogar, qual jogar pode garantir a vitória (independentemente de como o ouro jogue)?
Solução. Bob pode garantir a vitória se seguir a seguinte estrategia:
Sejam X e Y os dois tipos de movimentos permitidos pelo problema. Sempre que Ana realizar um movimento de um tipo, Bob deverá realizar o movimento do outro tipo no turno imediatamente subsequente. Assim, se Ana realizar o movimento X, Bob deverá realizar o movimento Y; se Ana realizar o movimento Y, Bob deverá realizar o movimento X. Logo, se a peça estava na casa \( (m,n) \) antes de Ana realizar seu movimento, a peça estará na casa \( (m+3,n+3) \) após Bob realizar seu movimento.
Portanto, após seis rodadas, Bob colocará o cavalo na casa \( (10,10) \). E no próximo turno, será a vez de Ana, que não terá como mover o cavalo. Portanto, Ana perde.
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